Question

已知函數y=f（x）定義域為（-π，π），且函數y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱，當x∈（0，π）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx，（其中f′（x）是f（x）的導函數），若a=f（3^0.3），b=f（log_π3），c=f（-log₃9），則a，b，c的大小關系是（　　）

• A、a＞b＞c
• B、b＞a＞c
• C、c＞b＞a
• D、c＞a＞b

Answer 1

分析：函數y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱，可得函數f（x）的圖象關于y軸得出，即函數f（x）是偶函數．
由于當x∈（0，x）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx．利用導數的運算法則可得f′(x)=-f′(

π

2

)cosx-

π

x

，令x=

π

2

，得到f′(

π

2

)=-2．x∈（0，π）時可得f′(x)=2cosx-

π

x

，進而得到函數f（x）在區間（0，π）上單調遞減．由于c=f（-log₃9）=f（-2）=f（2），再比較2，3^0.3，log_π3的大小即可得出．

解答：解：∵函數y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱，
∴函數f（x）的圖象關于y軸得出，即函數f（x）是偶函數．
∵當x∈（0，x）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx，
∴f′(x)=-f′(

π

2

)cosx-

π

x

，
令x=

π

2

，則f′(

π

2

)=-2．
∴f′(x)=2cosx-

π

x

＜0，
∴函數f（x）在區間（0，π）上單調遞減．
∵c=f（-log₃9）=f（-2）=f（2），
2＞3

1

2

＞3^0.3＞1＞log_π3＞0，
∴f（2）＜f（3^0.3）＜f（log_π3）．
又a=f（3^0.3），b=f（log_π3），
∴b＞a＞c．
故選：B．

點評：本題考查了函數的奇偶性、利用導數研究函數的單調性、指數函數與對數函數的單調性，屬于難題．