Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：（）的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)。

（1）求直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率；

（2）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，且，求的最大值和最小值.

 

Answer 1

【答案】

(1）， (2） 

【解析】

試題分析：(1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042123214742221154/SYS201304212322296566685304_DA.files/image003.png">，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：     ①   …………2分

易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），

據(jù)題意有AB所在的直線方程為：  ②      …………4分

由①，②有：        ③

設(shè)，弦AB的中點(diǎn)，由③及韋達(dá)定理有：

 

所以，即為所求。     …………6分

(2）設(shè)，由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：

，所以。

又點(diǎn)在橢圓C上，所以有整理為。  ④………8分

由③有：。

  ⑤

又A﹑B在橢圓上，故有     ⑥

將⑤，⑥代入④可得：。      …………10分

，故有

所以，     …………12分

考點(diǎn)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：圓錐曲線的問題一般來說計(jì)算量大，對運(yùn)算能力要求很高，尋求簡潔、合理的運(yùn)算途徑很重要，在解答時(shí)注意以下的轉(zhuǎn)化：⑴若直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，對待交點(diǎn)坐標(biāo)是“設(shè)而不求”的原則，要注意應(yīng)用韋達(dá)定理處理這類問題 ； ⑵與弦的重點(diǎn)有關(guān)問題求解常用方法一韋達(dá)定理法 二 點(diǎn)差法；⑶平面向量與解析幾何綜合題，遵循的是平面向量坐標(biāo)化，應(yīng)用的是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則還有兩向量平行、垂直來解決問題，這就要求同學(xué)們在基本概念、基本方法、基本能力上下功夫．