Question

在平面直角坐標系中，已知點及直線，曲線是滿足下列兩個條件的動點的軌跡：①其中是到直線的距離；②

(1) 求曲線的方程;

(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點，求橢圓離心率的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）

【解析】

試題分析：（1）求出是到直線的距離d和的表達式，由=2d建立等式，整理得在把代入中求出x的取值范圍即可.

（2）由導數的幾何意義求出直線m的斜率，求出直線m的參數方程，然后代入曲線C2方程中，消去y得到關于x的一元二次方程，由直線與橢圓相切，所以△==0，而又二者聯立起來解出a2，b2，由a2>b2，求出參數t的取值范圍，在根據橢圓離心率e的定義就可求出其范圍.

試題解析：解：（1），

， 2分

由①得：

，

即 4分

將代入②得：，

解得：

所以曲線的方程為： 6分

（2）(解法一)由題意，直線與曲線相切，設切點為，

則直線的方程為，

即 7分

將代入橢圓 的方程，并整理得：

由題意，直線與橢圓相切于點，則

，

即 9分

又 即 聯解得： 10分

由及得

故， 12分

得又故

所以橢圓離心率的取值范圍是 14分

（2）(解法二)設直線與曲線、橢圓 均相切于同一點則 7分

由知;

由知,

故 9分

聯解,得 10分

由及得

故， 12分

得又故

所以橢圓離心率的取值范圍是 14分

考點：1.點到直線的距離和曲線方程；2.由導數的幾何意義；3.直線與曲線的位置關系.