Question

6．若兩個非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，則向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角是（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方，得到到$|\overrightarrow{a}|$、$|\overrightarrow{b}|$的關(guān)系及$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，然后利用向量的數(shù)量積公式求出量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$，
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=-2$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
設(shè)$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為θ，
cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$．
∵θ∈[0°，180°]，
∴θ=120°．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查由數(shù)量積求向量的夾角公式，是中檔題．