Question

（07年湖北卷理）（14分）

已知為正整數(shù)，

（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；

（II）對(duì)于，已知，求證：，；

（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)．

Answer 1

本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力．

解析：解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325100325005.gif' width=49>，所以左邊右邊，原不等式成立；

（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，

，，于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以．即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．

綜合（）（）知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立．

（Ⅱ）證：當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得，

于是，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，

，

．

即．即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)．

故只需要討論的情形：

當(dāng)時(shí)，，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，，等式成立；

當(dāng)時(shí)，，等式成立；

當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，同的情形可分析出，等式不成立．

綜上，所求的只有．

解法2：（Ⅰ）證：當(dāng)或時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)，且時(shí)，，．　　①

（）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325100330041.gif' width=37>，所以，即左邊右邊，不等式①成立；

（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式①成立，即，則當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325100330040.gif' width=45>，所以．又因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325100332049.gif' width=89>，所以．

于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以．即當(dāng)時(shí)，不等式①也成立．

綜上所述，所證不等式成立．

（Ⅱ）證：當(dāng)，時(shí)，，，

而由（Ⅰ），，

．

（Ⅲ）解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，

即有．　　　　　②

又由（Ⅱ）可得

，與②式矛盾．

故當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)．

下同解法1．