Question

已知函數f(x)=，g(x)=alnx，a∈R．
(Ⅰ)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；
(Ⅱ)設函數h(x)=f(x)-g(x)，當h(x)存在最小值時，求其最小值ψ(a)的解析式；
(Ⅲ)對(Ⅱ)中的ψ(a)，證明：當a∈(0，+∞)時，ψ(a)≤1．

Answer 1

解：(Ⅰ)，
由已知得，解得，
∴兩條曲線交點的坐標為(e²，e)，
切線的斜率為，
∴切線的方程為y-e=(x-e²)。
(Ⅱ)由條件知，
∴，
(i)當a＞0時，令h′(x)=0，解得x=4a²，
∴當0＜x＜4a²時，h′(x)＜0，h(x)在(0，4a²)上遞減；
當x＞4a²時，h′(x)＞0，h(x)在(4a²，+∞)上遞增，
∴x=4a²是h(x)在(0，+∞)上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點，
∴最小值ψ(a)=h(4a²)=2a-aln4a²=2a(1-ln2a)；
(ii)當a≤0時，，h(x)在(0，+∞)上遞增，無最小值，
故h(x)的最小值ψ(a)的解析式為ψ(a)=2a（1-ln 2a）(a＞0)．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知ψ(a)=2a（1-ln 2-lna），
則，
令ψ′(a)=0，解得，
當時，ψ′(a)＞0，∴ψ(a)在上遞增；
當時，ψ′(a)＜0，∴ψ(a)在上遞減，
∴ψ(a)在處取得最大值。
∵ψ(a)在（0，+∞）上有且只有一個極值點，所以也是ψ(a)的最大值，
∴當a∈(0，+∞)時，總有ψ(a)≤1．