Question

已知橢圓C：
（1）已知橢圓的長軸是焦距的2倍，右焦點坐標為F（1，0），寫出橢圓C的方程；
（2）設K是（1）中所的橢圓上的動點，點O是坐標原點，求線段KO的中點B的軌跡方程；
（3）設點P是（1）中橢圓C 上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，K_PN試探究k_PM•K_PN的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）2a=2（2c），c=1，a²=4b²=3，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設KO的中點為B（x，y），則點K（2x，2y），把K的坐標代入橢圓中，得．由此能求出線段KF₁的中點B的軌跡方程．
（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱，設M（x，y）N（-x，-y），p（x，y）．M，N，P在橢圓上，應滿足橢圓方程，由此能夠證明k_PM•K_PN的值與點P的位置無關，同時與直線L無關．
解答：解：（1）2a=2（2c），（1分）
c=1，（2分）
a²=4b²=3，（3分）
橢圓C的方程為：．（4分）
（2）設KO的中點為B（x，y）則點K（2x，2y），（6分）
把K的坐標代入橢圓中，
得（8分）
線段KF₁的中點B的軌跡方程為．（10分）
（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱
設M（x，y）N（-x，-y），p（x，y）（11分）
M，N，P在橢圓上，應滿足橢圓方程，
得，（12分）
，（13分）
k_PM•K_PN==．（15分）
故：k_PM•K_PN的值與點P的位置無關，同時與直線L無關．（16分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質(zhì)等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．