Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞c＞0，a2=b2+c2)的左、右焦點分別為F₁，F₂，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于

3

2

(a-c)．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）設橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長的最大值．

Answer 1

分析：（1）可設且顯得的長，當且僅當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，進而求得|PF₂|的最小值，進而判斷出

(a-c)2-(b-c)2

≥

3

2

(a-c)，求得e的范圍．
（2）依題意求得Q點坐標，設出直線方程，與橢圓方程聯立消去y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而表示出x₁+x₂和x₁x₂，代入直線方程求得y₁y₂的表達式和x₁•x₂+y₁•y₂，進而根據OA⊥OB，判斷出

OA

•

OB

=0求得k和a的關系，表示出圓心到直線度的距離，根據（1）中e的范圍確定c的范圍，進而確定S的范圍，則其最大值可求．

解答：解：（1）依題意設切線長|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，
∴當且僅當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，而|PF₂|_min=a-c，
∴

(a-c)2-(b-c)2

≥

3

2

(a-c)，∴0＜

b-c

a-c

≤

1

2

，從而解得

3

5

≤e＜

2

2

，
故離心率e的取值范圍是

3

5

≤e＜

2

2

；
（2）依題意Q點的坐標為（1，0），則直線的方程為y=k（x-1），
聯立方程組

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x1+x2=

2a2k2

a2k2+1

，x1x2=

a2k2-a2

a2k2+1

，
代入直線方程得y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

k2(1-a2)

a2k2+1

，x1•x2+y1•y2=

k2-a2

a2k2+1

，
又OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，∴x1x2+y1y2=0，∴k2=a2，∴k=a，直線的方程為ax-y-a=0，
圓心F₂（c，0）到直線l的距離d=

|ac-a|

a2+1

，
由圖象可知s=

2d

a

=

2|c-1|

a2+1

=2

c2-2c+1 a2+1

=2

c2-2c+1 c2+2

=2

1- 4 2c+1+ 9 2c+1 -2

，
∴

3

5

≤e＜

2

2

，∴

3

4

≤c＜1，

5

2

≤2c+1＜3，
∴s∈(0，

2 41

41

]，
所以smax=

2 41

41

．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生數形結合的思想，轉化和化歸思想的運用．