Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦AB的長為2

3

，點C是劣弧ACB上任一點，（點C不與A、B重合），求∠ACB．

Answer 1

分析：首先做出輔助線，連接B、A與圓心再在優弧上找一點D，做出角ADB，根據直角三角形中三角函數的定義和特殊角的三角函數，寫出銳角的值，根據同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系，得到角D，根據圓內接四邊形寫出要求的結果．

解答：解：連接OA、OB，過O作OE⊥AB，E為垂足，則AE=BE．
在Rt△AOE中，OA=2，AE=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

，

∴sin∠AOE=

AE

OA

=

3

2

，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=2∠AOE=120°，在優弧

AB

上任取一點D（不與A、B重合），
∴∠ADB=

1

2

∠AOB=60°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=120°．

點評：本題考查圓內接四邊形的性質，考查同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系，考查直角三角形的性質，考查三角函數的定義，是一個比較簡單的綜合題目．