Question

如圖，四棱錐中，平面，底面是直角梯形，⊥，⊥，，為中點．

   (1) 求證：平面PDC平面PAD；

   (2) 求證：BE∥平面PAD；

  （3）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1) 證明略(2) 證明略（3）

【解析】本題主要考查線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理，以及考查線面平行的判定定理，解決此類問題的關鍵是熟練掌握有關的定理與幾何體的結構特征，此題屬于基礎題，考查學生的空間想象能力與邏輯推理能力．

（1）由題意可得：PA⊥CD，結合CD⊥AD與線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直．

（2）取PD的中點為F，連接EF，AF，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由題中條件可得EF=AB，并且EF∥AB，進而得到四邊形ABEF為平行四邊形，得到BE∥AF，再利用線面平行的判定定理得到線面平行．

（3）根據面面垂直得到線線垂直，得到兩個向量的數量積等于0，求出兩個字母之間的關系，設出平面的法向量，根據數量積等于0，做出法向量，進而求出面面角．

解：（I）略--------------（4分）

（II）略

（III）連，取的中點，連接，則平面，過作，

為垂足，連接，可證為二面角的平面角. -------（10分）

設，則可求得,

從而求得-----------（12分，其他方法比照給分）