Question

(本小題滿分14分)

已知橢圓E的兩個焦點分別為F₁(－1,0), F₂ (1,0), 點(1, )在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程

(2)若橢圓E上存在一點 P, 使∠F₁PF₂=30°, 求△PF₁F₂的面積.

 

Answer 1

【答案】

(1)  

(2) =12(2－)=3(2－)

【解析】(1)可以從方程角度來考慮就是知道c,然后再把點的坐標代入橢圓方程，再結合,解出a,b值來.

也可直接利用橢圓的定義橢圓上的點到兩焦點的距離之和是2a,求出a,然后根據c再求出b.橢圓方程確定.

（2）根據余弦定理可求出|PF₁||PF₂|=12 (2－),

然后利用面積公式求解即可.

解：(1)設橢圓E的方程為:  (a>b>0).

∵ c=1,  ∴      ①

點(1, )在橢圓E上, ∴     ②

由①、②得: , b²=3 , ∴ 橢圓E的方程為:  

(2) cos30°=  ,   

∴ |PF₁||PF₂|=12 (2－)

=12(2－)=3(2－)