Question

若一三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？

Answer 1

證明：設△ABC的重心與外接圓的圓心均為O（如圖）
∵OA=OC，E為AC的中點，∴BE⊥AC；
同理，CD⊥AB，AF⊥BC
在Rt△ABE與Rt△ACD中，
∠A為公共角，BE=CD=R+R=R（R為外接圓半徑），
所以△ABE≌△ACD，AB=AC，
同理可得AB=BC
由此可知△ABC為等邊三角形．
分析：利用等腰三角形的中線與高重合，得到AF、BE、CD為三角形的高；利用全等三角形的判定定理得到兩邊相等，判斷出三角形的形狀．
點評：本題考查三角形的外心的性質、重心的性質、三角形全等的判定定理、據三角形的邊角的關系判斷出三角形的形狀．