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在外接圓直徑為1的△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)向量
m
=(a,cosB),
n
=(b,cosA),且
m
n
m
n

(1)求sinA+sinB的取值范圍;
(2)若abx=a+b,試確定實(shí)數(shù)x的取值范圍.
分析:(1)由向量
m
=(a,cosB),
n
=(b,cosA),且
m
n
,結(jié)合正弦定理,和差角公式及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得sinA+sinB的取值范圍;
(2)若abx=a+b,可得x=
a+b
ab
,結(jié)合正弦定理及(1)中結(jié)論,可得實(shí)數(shù)x的取值范圍
解答:解:(1)∵向量
m
=(a,cosB),
n
=(b,cosA),且
m
n

∴a•cosA=b•cosB
即sinA•cosA=sinB•cosB
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π
又∵
m
n

∴2A+2B=π
∴A+B=
π
2

∴sinA+sinB=sinA+sin(
π
2
-A)=sinA+cosA=
2
sin(A+
π
4

∵A∈(0,
π
2

∴A+
π
4
∈(
π
4
4

2
sin(A+
π
4
)∈(1,
2
]
∴sinA+sinB的取值范圍為(1,
2
];
(2)若abx=a+b,則x=
a+b
ab
=
sinA+sinB
sinA•sinB
=
sinA+cosA
sinA•cosA

令t=sinA+cosA,由(1)得t∈(1,
2
]
則x=
t
t2-1
2
=
2t
t2-1
=
2
t-
1
t
2
2
-
1
2
=2
2

故實(shí)數(shù)x的取值范圍為[2
2
,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的函數(shù)的圖象和性質(zhì),正弦定理,向量平行,是向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用,難度中檔.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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sinA+sinBcosA+cosB

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(2)若△ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍.

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2
2
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