Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓：()的左右焦點，點是橢圓上一點，且.若橢圓的內接四邊形的邊的延長線交于橢圓外一點，且點的橫坐標為1，記直線的斜率分別為，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求橢圓定義可知,點代入即可得出結果;

（2）設，,因為的延長線交于橢圓外一點，且點的橫坐標為1,于是有,將直線與橢圓方程聯立,結合韋達定理及弦長公式可求得,,根據已知條件化簡即可得出結果.

（1）,∴

點是橢圓上一點，代入方程:，∴，

∴橢圓的標準方程:

（2）設，

的延長線交于橢圓外一點，且點的橫坐標為1，于是有 ①

②

于是：

代入②可得

同理

又，可得：

∴

法二：（1）由為橢圓的左右焦點，為上一點，

∴，∴，∴橢圓

將代入可得

∴橢圓的標準方程為

（2）設，由斜率分別為

則直線的方程分別為

將與聯立，設

由韋達定理，

∴

同理可證

則由，得

從而

即

∴，∴

又為的內接四邊形，∴，∴