Question

已知直線l：y=x+m與橢圓

x2

20

+

y2

5

=1相交于不同的兩點A，B，點M（4，1）為定點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若直線l不過點M，求證：直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）直線方程代入橢圓方程，利用判別式大于0，即可求m的取值范圍；
（2）證明直線MA、MB的傾斜角互補，即可證得結論．

解答：（1）解：直線l：y=x+m代入橢圓

x2

20

+

y2

5

=1，可得5x²+8mx+4m²-20=0
∵直線l：y=x+m與橢圓

x2

20

+

y2

5

=1相交于不同的兩點A，B，
∴△=64m²-20（4m²-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（2）證明：設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

∴k₁+k₂=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)

x1x2-4(x1+x2)+16

=

2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)

x1x2-4(x1+x2)+16

=

2• 4m2-20 5 +(m-5)(- 8m 5 )-8(m-1)

x1x2-4(x1+x2)+16

=0
∴直線MA、MB的傾斜角互補，故直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查斜率的計算，屬于基礎題．