Question

(本小題滿分13分)

     給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為。

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；

（2）點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過點作直線，使得與橢圓都只有一個交點。求證：⊥.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）因為，所以                        2分

所以橢圓的方程為，    準圓的方程為.       4分

（2）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

當方程為時，此時與準圓交于點

此時經過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是

(或，即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直.                 7分

②當都有斜率時，設點其中，

設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

則，消去得到，

即，

，

經過化簡得到：，               9分

因為，所以有，

設的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.                                13分

 

【解析】略