Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤a2﹣2a在R上的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）+x＞0可化為|x﹣2|+x＞|x+1|， 當x＜﹣1時，﹣（x﹣2）+x＞﹣（x+1），解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜﹣1；
當﹣1≤x≤2時，﹣（x﹣2）+x＞x+1，解得x＜1，即﹣1≤x＜1；
當x＞2時，x﹣2+x＞x+1，解得：x＞3，即x＞3，
綜上所述，不等式f（x）+x＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1或x＞3}
（Ⅱ）由不等式f（x）≤a2﹣2a，
可得|x﹣2|﹣|x+1|≤a2﹣2a，
∵|x﹣2|﹣|x+1|≤|x﹣2﹣x﹣1|=3，
∴a2﹣2a≥3，即a2﹣2a﹣3≥0，解得a≤﹣1或a≥3，
故實數a的取值范圍是a≤﹣1或a≥3
【解析】（Ⅰ）通過討論x的范圍求出各個區間上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根據絕對值的性質，得到關于a的不等式，解出即可．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．