Question

選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程
為ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過點P（-2，-4）的直線l的參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數），直線l與曲線C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|²，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用極坐標與直角坐標的互化公式即可把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，利用消去參數t即可得到直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）將直線L的參數方程，代入曲線C的方程，利用參數的幾何意義即可得出|PA|•|PB|，從而建立關于a的方程，求解即可．

解答：解：（I）由ρsin²θ=2acosθ（a＞0）得ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0）
∴曲線C的直角坐標方程為y²=2ax（a＞0）…（2分）
直線l的普通方程為y=x-2…（4分）
（II）將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程y²=2ax中，
得t²-2

2

（4+a）t+8（4+a）=0
設A、B兩點對應的參數分別為t₁、t₂
則有t₁+t₂=2

2

（4+a），t₁t₂=8（4+a）…（6分）
∵|PA|?|PB|=|AB|²
∴t₁t₂=（t₁-t₂）²，即（t₁+t₂）²=5t₁t₂…（8分）
∴[2

2

（4+a）]²=40（4+a）
化簡得，a²+3a-4=0
解之得：a=1或a=-4（舍去）
∴a的值為1…（10分）

點評：熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、方程思想、直線L的參數方程中的參數的幾何意義是解題的關鍵．