Question

設函數．
（1）若函數f（x）為奇函數，求b的值；
（2）在（1）的條件下，若a=-3，函數f（x）在[-2，2]上的值域為[-2，2]，求f（x）的零點；
（3）若不等式axf'（x）≤f（x）+1恒成立，求a+b+c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），解得b=0．
（2）由（1）可知f（x）=-x³+cx，∴f′（x）=-3x²+c．
①若c≤0，則f′（x）≤0恒成立，則f（x）單調遞減，
又函數f（x）在[-2，2]上的值域為[-2，2]，∴，此方程無解．
②若c＞0，則
（ⅰ）若，即c＞12時，函數f（x）在[-2，2]上單調遞增，∴，此方程組無解；
（ⅱ）時，即3≤c≤12時，∴，所以c=3；
（ⅲ）時，即c＜3時，∴，此方程組無解．
綜上可得c=3，∴f（x）=-x³+3x的零點為：．
（3）由題設得恒成立．
記，
若，則三次函數F（x）至少有一個零點x₀，且在x₀左右兩側異號，
所以原不等式不能恒成立；
所以，∴，此時恒成立等價于：1⁰．b=c=0或者2⁰.
在1⁰中
在2⁰中，所以c²≤3t-3c-1?3t≥c²+3c+1，∴
綜上a+b+c的取值范圍是．                        …
分析：（1）由題意可得f（-x）=-f（x），解之可得b=0；
（2）可得f（x）=-x³+cx，f′（x）=-3x²+c，結合導數的正負對函數單調性的影響，分c≤0，和c＞0，兩類進行討論可得答案；
（3）推理可得，∴，此時恒成立等價于：1⁰．b=c=0或者2⁰.，分別求解a+b+c的取值范圍，綜合可得．
點評：本題考查函數的奇偶性，和函數的恒成立問題，屬中檔題．