Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-．
（Ⅰ）設c=，b_n=，求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式a_n＜a_n+1＜3成立的c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令c=代入到a_n+1=c-中整理并令b_n=進行替換，得到關系式b_n+1=4b_n+2，進而可得到{}是首項為-，公比為4的等比數列，先得到{}的通項公式，即可得到數列{b_n}的通項公式．
（2）先求出n=1，2時的c的范圍，然后用數學歸納法分3步進行證明當c＞2時a_n＜a_n+1，然后當c＞2時，令α=，根據由可發現c＞時不能滿足條件，進而可確定c的范圍．
解答：解：（1），
，即b_n+1=4b_n+2
，a₁=1，故
所以{}是首項為-，公比為4的等比數列，
，
（Ⅱ）a₁=1，a₂=c-1，由a₂＞a₁得c＞2．
用數學歸納法證明：當c＞2時a_n＜a_n+1．
（ⅰ）當n=1時，a₂=c-＞a₁，命題成立；
（ii）設當n=k時，a_k＜a_k+1，
則當n=k+1時，
故由（i）（ii）知當c＞2時，a_n＜a_n+1
當c＞2時，令α=，由
當2＜c≤時，a_n＜α≤3
當c＞時，α＞3且1≤a_n＜α
于是

當n＜
因此c＞不符合要求．
所以c的取值范圍是（2，]．
點評：本小題主要考查數列的通項公式、等比數列的定義、遞推數列、不等式等基礎知識和基本技能，同時考查分析、歸納、探究和推理論證問題的能力，在解題過程中也滲透了對函數與方程思想、化歸與轉化思想的考查．