Question

【題目】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設是橢圓的右頂點，過點作兩條直線分別與橢圓交于另一點，若直線的斜率之積為，求證：直線恒過一個定點，并求出這個定點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ ）（Ⅱ）直線恒過點

【解析】分析: （Ⅰ）由題意布列關于a，b的方程組，解之即可；（Ⅱ）設直線，與橢圓方程聯立可得，利用根與系數的關系表示直線的斜率之積為，可得值，從而得證.

詳解: （Ⅰ）依題意：，解得，即橢圓；

（Ⅱ）設直線，

則，

即，

；

設，而，則由得

,

，

即，

整理得，解得或（舍去）

直線，知直線恒過點．

點睛: 定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現.