Question

9、函數(shù)f（x）在定義域R上不是常數(shù)函數(shù)，且f（x）滿足條件：對任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），
則f（x）是（　　）

A、奇函數(shù)但非偶函數(shù)

B、偶函數(shù)但非奇函數(shù)

C、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D、是非奇非偶函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)對任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），知f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f（1-x）=f（-x），故f（x）為偶函數(shù)，反之易得函數(shù)f（x）不可能為奇函數(shù)，即可得答案．

解答：解：∵對任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x）
∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f（1-x）=f（-x）
∴f（x）=f（-x）
故f（x）為偶函數(shù)
又∵既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)只有常數(shù)函數(shù)，函數(shù)f（x）在定義域R上不是常數(shù)函數(shù)
∴函數(shù)f（x）不可能為奇函數(shù)
故選B

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，還有變量整體代入法，屬于基礎(chǔ)題．