Question

已知函數f（x）=e^2x-1-2x-kx²
（Ⅰ）當k=0時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若x≥0時，f（x）≥0恒成立，求k的取值范圍．
（Ⅲ）試比較與（n為任意非負整數）的大小關系，并給出證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）當k=0時，f（x）=e^2x-1-2x，
f^′（x）=2e^2x-2，
令f^′（x）＞0，則2e^2x-2＞0，解得：x＞0．
令f^′（x）＜0，則2e^2x-2＜0，解得：x＜0．
所以，函數f（x）=e^2x-1-2x的單調增區間為（0，+∞）．
單調減區間為（-∞，0）．
（Ⅱ）由函數f（x）=e^2x-1-2x-kx²，
則f^′（x）=2e^2x-2kx-2=2（e^2x-kx-1），
令g（x）=e^2x-kx-1，
則g^′（x）=2e^2x-k．
由x≥0，
所以，①當k≤2時，g^′（x）≥0，g（x）為增函數，而g（0）=0，
所以g（x）≥0，即f^′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數，
而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
②當k＞2時，令g^′（x）＜0，即2e^2x-k＜0，則0≤x＜．
即g（x）在[0，）上為減函數，而g（0）=0，所以，g（x）在[0，）上小于0．
即f^′（x）＜0，所以，f（x）在[0，）上為減函數，而f（0）=0，故此時f（x）＜0，不合題意．
綜上，k≤2．
（Ⅲ）．
事實上，由（Ⅱ）知，f（x）=e^2x-1-2x-2x²在[0，+∞）上為增函數，
所以，e^2x≥2x²+2x+1=x²+（x+1）²，
則e⁰≥1²
e²≥1²+2²
e⁴≥2²+3²
e⁶≥3²+4²
…
e^2（n-1）≥（n-1）²+n²
累加得：1+e²+e⁴+e⁶+…+e^2（n-1）≥2（1²+2²+3²+…+（n-1）²）+n²．
即．
所以，．
分析：（Ⅰ）取x=0后，求出函數的導函數，由導函數大于0和導函數小于0分別求出函數的單調區間；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，以k≤2和k＞2進行分類討論，由k≤2時，說明原函數在[0，+∞）上為增函數，說明f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，k＞2時，說明這種情況不存在；
（Ⅲ）結合（Ⅱ），說明函數f（x）當k=2時為增函數，把不等式變形e^2x≥2x²+2x+1=x²+（x+1）²后，依次取x的值為0，1，2…，（n-1），累加后利用等比數列求和公式可得結論．
點評：本題考查了利用導函數研究函數的單調性，考查了函數中的恒成立問題，考查了不等式的證明，解答此題的關鍵是運用導函數分析函數的單調性，同時考查了學生靈活的變式思維能力，此題屬難題．