Question

【題目】某果園種植“糖心蘋果”已有十余年，根據其種植規模與以往的種植經驗，產自該果園的單個“糖心蘋果”的果徑（最大橫切面直徑，單位：）在正常環境下服從正態分布.

（1）一顧客購買了20個該果園的“糖心蘋果”，求會買到果徑小于56的概率；

（2）為了提高利潤，該果園每年投入一定的資金，對種植、采摘、包裝、宣傳等環節進行改進.如圖是2009年至2018年，該果園每年的投資金額（單位：萬元）與年利潤增量（單位：萬元）的散點圖：

該果園為了預測2019年投資金額為20萬元時的年利潤增量，建立了關于的兩個回歸模型；

模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：；

模型②：由圖中樣本點的分布，可以認為樣本點集中在曲線：的附近，對投資金額做交換，令，則，且有，，，.

（I）根據所給的統計量，求模型②中關于的回歸方程；

（II）根據下列表格中的數據，比較兩種模型的相關指數，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測投資金額為20萬元時的年利潤增量（結果保留兩位小數）.

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	102.28	36.19

附：若隨機變量，則，；樣本的最小乘估計公式為，；

相關指數.

參考數據：，，，.

Answer 1

【答案】（1）0.3695；（2）（I）,（II）模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，當時，模型②的年利潤增量的預測值為（萬元），

【解析】

（1）由已知滿足正態分布，則可知，的值，由正態分布的對稱性可知，可求得買一個蘋果，其果徑小于56的概率，由獨立重復試驗概率的運算方式，求得購買20個“糖心蘋果”中有果徑小于56的蘋果概率；

（2）（I）由最小二乘法求得模型②中關于的回歸方程；

（II）分別計算兩種模型的相關系數的平方，得模型②的相關系數的平方更大其擬合程度越好，再代進行計算，求得預測值.

（1）由已知，當個“糖心蘋果”的果徑，

則，.

由正態分布的對稱性可知，

設一顧客購買了20個該果園的“糖心蘋果”，其中果徑小于56的有個，則，

故，

所以這名顧客所購買20個“糖心蘋果”中有果徑小于56的蘋果概率為0.3695.

（2）（I）由，，可得，，

又由題，得，

則

所以，模型②中關于的回歸方程.

（II）由表格中的數據，有，即，

所以模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，

當時，模型②的年利潤增量的預測值為

（萬元），

這個結果比模型①的預測精度更高、更可靠.