Question

(08年莆田四中一模理)(12分)

在中，已知，，兩邊所在

的直線分別與軸交于兩點，且＝4．

（1）求點的軌跡方程；

（2）若，

①試確定點的坐標；

②設是點的軌跡上的動點，猜想的周長最大時點的位置，并證明你的猜想．

Answer 1

解析：（1）如圖，設點，，，由三點共線，，＝．-------- 2分

同理，由三點共線可得：＝．----------- 3分

∵＝4，∴?＝＝4．化簡，

得點C的軌跡方程為（x≠0）．-------5分

（2）若，

①設F（，0），C（），

∴（）＝－8（）．

∴＝，＝．

代入， 得＝±．∴（±，0），即為橢圓的焦點．---8分

②猜想：取（，0），設（－，0）是左焦點，則當點位于直線與橢圓的交點處時，周長最大，最大值為8．------- 10分

證明如下：||＋||＝4－||＋||≤4＋||，

∴周長≤4＋||＋||≤8．---------------12分