Question

21．設函數f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

)，其中m是實數，設M={m|m＞1}
（1）求證：當m∈M時，f（x）對所有實數x都有意義；反之，如果f（x）對所有實數x都有意義，則m∈M；
（2）當m∈M時，求函數f（x）的最小值；
（3）求證：對每一個m∈M，函數f（x）的最小值都不小于1．

Answer 1

分析：（1）對數的真數構造函數通過m＞1，推出對數的真數大于0，所以當m∈M時，f（x）對所有實數x都有意義；通過f（x）對所有實數x都有意義，求出m的范圍說明m∈M．
（2）利用基本不等式以及函數的單調性直接求解即可．
（3）通過函數的最小值以及函數的單調性，直接判斷對每一個m∈M，函數f（x）的最小值都不小于1．

解答：解：（1）函數f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

)，
令t=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

若m＞1，則

1

m-1

＞0，∴t＞0．
若t＞0，則△=（4m）²-4（4m²+m+

1

m-1

）=-

4(m2-m+1)

m-1

＜0，
∵m²-m+1=（m-

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴m＞1，即m∈M．
（2）當m∈M時，t=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

=（x-2m）²+m+

1

m-1

≥m+

1

m-1

，（x=2m時取等號）．
又函數y=log₃t在定義域上是增函數，
∴x=2m時f（x）有最小值log₃（m+

1

m-1

）．
（3）∵m+

1

m-1

=m-1+

1

m-1

+1，
又m＞1，∴m-1+

1

m-1

+1≥3，當且僅當m-1=

1

m-1

，即m=2時取等號．
又函數y=log₃t在定義域上是增函數，
所以log₃（m+

1

m-1

）≥1，
∴對每一個m∈M，函數f（x）的最小值都不小于1．

點評：本題考查函數的單調性，函數的最小值的求法，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力．