Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形AC∩BD=0，AB=2，∠ABC=60°，E、F分別為棱CC₁，BB₁上的點，EC=BC=2FB，M是AE的中點．
（1） 求證：FM∥BO（2） 求三棱錐E-ABD的體積．

Answer 1

分析：（1）連接MF，MO后，由EC=BC=2FB，M是AE的中點，我們易判斷出四邊形OBFM為平行四邊形，結合平行四邊形的性質，即可得到結論．
（2）由已知中四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形AC∩BD=0，AB=2，∠ABC=60°，我們易求出棱錐E-ABD的底面△ABD的面積，將棱錐的底面面積及高代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：如圖所示，連接MF，MO
（1）∵EC=2FB，EC∥FB
∴MO是△ACE的中位線
∴2OM=CE，OM∥CE
∴OM=FM，OM∥FB
∴四邊形OBFM為平行四邊形
∴BO∥MF
（2）已知直四棱柱的底面是菱形，
且AB=2，∠ABC=60°
又∵EC=BC=AB
∴S_ABD=

1

2

•AB2•sin

π

3

=

3

∴三棱錐E-ABD的體積V=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，空間中直線與直線之間的位置關系，要判斷空間中直線與直線之間的位置關系，可結合圖形進行預判，為證明尋找思路，要求三棱錐的體積，關鍵是求出棱錐的底面積和高．