Question

已知圓心為（2，1）的圓C與直線l：x=3相切．
（1）求圓C的標準方程；
（2）若圓C與圓O：x²+y²=4相交于A，B兩點，求直線AB的方程．（用一般式表示）

Answer 1

解：（1）∵圓C與直線l：x=3相切．
∴圓心C（2，1）到直線l的距離等于圓的半徑．
因此半徑r=|3-2|=1
∴圓C的標準方程為（x-2）²+（y-1）²=1
（2）將圓C與圓O的方程聯解，
由兩式相減得方程：2x+y-4=0，
∵圓C與圓O相交于A，B兩點，
∴直線AB的方程即為2x+y-4=0
分析：（1）直線l：x=3與圓C相切，可得直線l到點C的距離等于圓C的半徑，用距離公式可以求得圓C的半徑等于1，最后用圓的標準方程公式得到圓C的標準方程；
（2）圓C與圓O：x²+y²=4相交于A，B兩點，線段AB即為兩圓的公共弦．將兩圓的一般方程的左邊相減，得到二元一次方程，即為公共弦弦AB所在直線的方程．
點評：本題借助于圓的切線和兩圓相交的問題，通過求圓的標準方程和相交兩圓公共弦所在直線，考查了直線與圓的位置關系和圓與圓的位置關系等知識點，屬于中檔題．