Question

已知2x2+x≤(

1

4

)x-2，則函數(shù)y=2^x-2^-x的值域是

[-

255

16

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：將指數(shù)不等式2x2+x≤(

1

4

)x-2化為同底，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解出不等式，得到x的取值范圍，進(jìn)而利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)增-減=增判斷出函數(shù)y=2^x-2^-x的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值和最小值，求出函數(shù)y=2^x-2^-x的值域

解答：解：∵2x2+x≤(

1

4

)x-2，
∴2x2+x≤24-2x
∴x²+x≤4-2x
即x²+3x-4≤0
解得-4≤x≤1
又∵函數(shù)y=2^x-2^-x為增函數(shù)
∴當(dāng)x=-4時，y取最小值-

255

16

當(dāng)x=1時，y取最大值

3

2

故函數(shù)y=2^x-2^-x的值域是[-

255

16

，

3

2

]
故答案為：[-

255

16

，

3

2

]

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，及函數(shù)的單調(diào)性和值域，其中解指數(shù)不等式，求出x的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．