Question

（1）把7個相同的球放入四個相同的盒子，每個盒子至少有一個球的不同放法有多少種？
（2）把7個相同的球放入四個不相同的盒子，每個盒子至少有一個球的不同放法有多少種？
（3）把7個不相同的球放入四個不相同的盒子，每個盒子至少有一個球的不同放法有多少種？

Answer 1

分析：（1）由于盒子沒有區別，球也沒有區別，區別的就是數目不同，故本題不同的放法種數就是分組的種數．
（2）與（1）不同的是，盒子是有區別的，故此是一個排列問題，但由于球是相同的，故數目相同兩組球之間無交換，得相應除去倍數．
（3）與（2）不同的是球有區別，解題時要先分組，再分配．

解答：解：（1）∵7=4+1+1+1=3+2+1+1=2+2+2+1，∴有3種分法，故不同的放法有三種．
（2）七個球的分法同上，有三種，第一種放法有4種，第二種有12種放法，第三種有4種放法，共有20種．

（3）N=(

C 4 7 C 1 3 C 1 2 C 1 1

A 3 3

+

C 3 7 C 2 4 C 1 2 C 1 1

A 2 2

+

C 1 7 C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

）•A₄⁴=350×24=8400

點評：本題考查排列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意盒子與球是否相同．