Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2．
（1）若點P在底面ABC內的射影是點O，試指出點O的位置，并說明理由；
（2）求證：平面ABC⊥平面APC；
（3）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷AB⊥BC，再根據PA=PB=PC，即可得到結論；
（2）利用線面垂直，可得面面垂直；
（3）取BC的中點為E，過A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，則∠APF就是PA與平面PBC所成的角，由此可得結論．
解答：（1）解：∵AC=4，AB=BC=2，∴AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC

∵PA=PB=PC，∴點P在底面ABC內的射影O，滿足OA=OB=OC
∴O是AC的中點；
（2）證明：由（1）知，PO⊥平面ABC．
∵PO?平面APC，
∴平面ABC⊥平面APC；
（3）解：取BC的中點為E，過A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，則∠APF就是PA與平面PBC所成的角
∵PB=PC=4，BC=2，又BE=CE，∴BE⊥PE，BE=，
∴由勾股定理，有PE=．
∴S_△PBC=BC×PE=×2×=2．
∴V_A-PBC=S_△PBC×AF=AF．
∵PA=PC=AC=4，∴S_△PAC=AC×PD=4．
∵BD⊥平面PAC，∴V_B-PAC=S_△PAC×BD=．
∵V_A-PBC=V_B-PAC，∴AF=，∴AF=．
∴sin∠APF===．
∴PA與平面PBC所成角的正弦值為．
點評：本題考查線面垂直，考查面面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．