Question

已知曲線都過點A（0，-1），且曲線C₁所在的圓錐曲線的離心率為．
（Ⅰ）求曲線C₁和曲線C₂的方程；
（Ⅱ）設點B，C分別在曲線C₁，C₂上，k₁，k₂分別為直線AB，AC的斜率，當k₂=4k₁時，問直線BC是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知曲線都過點A（0，-1），且曲線C₁所在的圓錐曲線的離心率為，可確定相應幾何量，從而可得曲線C₁和曲線C₂的方程；
（Ⅱ）將直線AB，AC的方程分別與橢圓、圓聯立，進而可求點B，C的坐標，從而可得直線BC的方程，進而可知過定點．
解答：解：（Ⅰ）由已知曲線C₁和曲線C₂都過點A（0，-1），得b²=1，r²=1．                        …（2分）
∵曲線C₁所在的圓錐曲線的離心率為．
∴a²=4，
∴曲線C₁的方程為（x≥0）．                          …（3分）
曲線C₂的方程為x²+y²=1（x≥0）．                               …（4分）
（Ⅱ）將y=k₁x-1代入，得．…（5分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=0，，．
所以．                                         …（7分）
將y=k₂x-1代入x²+y²=1，得．
設C（x₃，y₃），則，，
所以．                                           …（9分）
因為k₂=4k₁，所以
則直線BC的斜率，…（11分）
所以直線BC的方程為：，即．…（12分）
故BC過定點（0，1）．                                              …（13分）
點評：本題考查曲線軌跡方程的求解，考查直線恒過定點，解題的關鍵是確定點B、C的坐標，求出直線BC的方程．