Question

棱長為1的正四面體中，連接四個面的中心，得到一個正四面體，再連接此正四面體的中心，又得到一個正四面體，如此操作下去，則包括原正四面體在內的所有依次得到正四面體的體積組成等比數列，則公比是（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  27

• C．

  1

  2

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：由于原正四面體的棱長為1，由此可得BD=1，由中位線定理可知：GH=

1

2

BD=

1

2

，又由重心定理可知：EF=

2

3

GH=

1

3

，可得四面體與原四面體的相似比為

1

3

，由此可得體積比．

解答：解：如圖，設G，H分別是BC，CD的中點，E，F分別是三角形ABC，ACD的重心，BD=1，
由中位線定理可知：GH=

1

2

BD=

1

2

，又由重心定理可知：EF=

2

3

GH=

1

3

，
由于所作四面體與原四面體相似，相似比為

1 3

1

=

1

3

，即棱長是原來的正四面體的棱長的

1

3

，
故所作四面體與原四面體的相似比為

1

3

，故體積比為

1

27

，
故選B．

點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，棱錐的體積等基本知識，等比數列的定義，同時考查空間想象能力和推理、運算能力，屬于中檔題．