Question

雙曲線x²-y²=1的左焦點為F，點P為左支下半支上任意一點（異于頂點），則直線PF的斜率的變化范圍是

1. A.
   （-∞，0）
2. B.
   （1，+∞）
3. C.
   （-∞，0）∪（1，+∞）
4. D.
   （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

C
分析：當點P向雙曲線右下方無限移動時，直線PF逐漸與漸近線平行，但是永不平行，所以傾斜角大于45°；當點P逐漸靠近頂點時，傾斜角逐漸增大，但是小于180°．由此可知直線PF的斜率的變化范圍（-∞，0）∪（1，+∞）．
解答：由題意條件知雙曲線的漸近線傾斜角為45°，
當點P向雙曲線右下方無限移動時，直線PF逐漸與漸近線平行，但是永不平行，所以傾斜角大于45°；
當點P逐漸靠近頂點時，傾斜角逐漸增大，但是小于180°．
所以直線PF的傾斜角的范圍是（45°，180°）．
由此可知直線PF的斜率的變化范圍（-∞，0）∪（1，+∞）．
故選C．
點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．