Question

如圖所示,D是Rt△ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記∠CAD=α,∠ABC=β.

(1)證明sinα+cos2β=0;

(2)若AC=DC,求β的值.

Answer 1

(1)證明:因為α=-∠BAD=-(π-2β)=2β-,

所以sinα=sin(2β-)=-cos2β,

即sinα+cos2β=0.

(2)解析:在△ADC中,由正弦定理得

=,即=.

所以sinβ=sinα.

由(1),sinα=-cos2β,

所以sinβ=-cos2β=-(1-2sin²β),

即2sin²β-sinβ-=0.

解得sinβ=或sinβ=-.

因為0＜β＜,

所以sinβ=.

從而β=.