Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點．

（Ⅰ）判定AE與PD是否垂直，并說明理由

（Ⅱ）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）垂直.證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因為為的中點，所以．又，因此．

因為平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，所以．

（Ⅱ）解：設，為上任意一點，連接．

由（Ⅰ）知平面，則為與平面所成的角．

在中，，所以當最短時，最大，

即當時，最大．

此時，

因此．又，所以，   www..com                            高#考#資#源#

所以．　

解法一：因為平面，平面，

所以平面平面．過作于，則平面，

過作于，連接，則為二面角的平面角，

在中，，，

又是的中點，在中，，

又，在中，，

即所求二面角的余弦值為．

解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，

∴，

，

所以．

設平面的一法向量為，則   

因此取，則，

因為，，，

所以平面，故為平面的一法向量．

又，所以．

因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．

 

【解析】略