Question

設x，y是正實數，且x+y=1，則

x2

x+2

+

y2

y+1

的最小值是

1

4

．

Answer 1

分析：該題是考查利用基本不等式求最值問題，但直接運用基本不等式無從下手，可考慮運用換元思想，把要求最值的分母變為單項式，然后利用“1”的代換技巧轉化為能利用基本不等式求最值得問題．

解答：解：設x+2=s，y+1=t，則s+t=x+y+3=4，
所以

x2

x+2

+

y2

y+1

=

(s-2)2

s

+

(t-1)2

t

=(s-4+

4

s

)+(t-2+

1

t

)=(s+t)+(

4

s

+

1

t

)-6=(

4

s

+

1

t

)-2．
因為

4

s

+

1

t

=

1

4

(

4

s

+

1

t

)(s+t)=

1

4

(

4t

s

+

s

t

+5)≥

9

4

所以

x2

x+2

+

y2

y+1

≥

1

4

．
故答案為

1

4

．

點評：本題考查了基本不等式，考查了換元法和數學轉化思想，訓練了整體代換技巧，解答此題的關鍵是運用換元后使分式的分母由多項式變為了單項式，展開后使問題變得明朗化．