Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是C₁C中點，則BE與平面B₁BDD₁所成角的正弦值為

10

5

．

Answer 1

分析：以A為坐標原點，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標系O-xyz，分別求出面B₁BDD₁的法向量和直線BE的方向向量，代入向量夾角公式，可得BE與平面B₁BDD₁所成角的正弦值

解答：解：以A為坐標原點，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標系O-xyz
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1）
根據正方體的幾何特征，可得AC⊥平面B₁BDD₁，
故

AC

=（2，2，0）是平面B₁BDD₁的一個法向量
又∵

BE

=（0，2，1）
故BE與平面B₁BDD₁所成角θ滿足sinθ=

| AC • BE |

| AC |•| BE |

=

4

2 2 • 5

=

10

5

故答案為：

10

5

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中建立空間坐標系，將線面夾角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．