Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求證：BD⊥平面POA；
(2)記三棱錐P­ABD體積為V₁，四棱錐P­BDEF體積為V₂，且，求此時線段PO的長．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，
∴BD⊥AO.
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO?平面PEF.
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，
∴PO⊥BD.
∵AO∩PO＝O，AO，PO?平面POA.
∴BD⊥平面POA.
(2)設AO∩BD＝H
由(1)知，PO⊥平面ABFED，PO＝CO.
∴PO是三棱錐P­ABD的高及四棱錐P­BDEF的高
∴V₁＝S_△ABD·PO，V₂＝S_梯形BFED·PO
∵∴S_梯形BFED＝S_△ABD＝S_△BCD
∴S_△CEF＝S_△BCD
∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CDB
∴＝
∴CO＝CH＝AH＝×2＝
∴線段PO的長為.