Question

已知定義在R上的函數f（x） 滿足條件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）對非零實數x，都有2f（x）+f（）=2x++3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=（x≥0）直線 y=n-x分別與函數f（x） 的反函數 交于A，B兩點
（其中n∈N*），設 a_n=|A_nB_n|，s_n為數列a_n 的前n項和．求證：當n≥2 時，總有 S_n²＞2（）成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）令解析式中的x用代入，得到一個方程組，消去f（）可求出函數的解析式；
（2）先求出A_n的坐標，依題意得B_n與A_n關于y=x對稱求出B_n的坐標，求出a_n，從而求出S_n，將s_n²-s_n-1²進行累加可求證得結論．
解答：解：（1）由②知x≠0時⇒
⇒f（x）=x+1（4分）
（2）g（x）=由⇒A_n（，）
依題意得B_n與A_n關于y=x對稱⇒B_n（，）=（6分）
⇒s_n=+⇒s_n-s_n-1===s_n²-+（8分）
⇒s_n²-s_n-1²=（n≥2）累加得s_n²-s₁²=2（++）-（++）
⇒s_n²=2（++）+1-（++）（10分）
又1-（++）＞1-（++）=＞0
∴s_n²＞（12分）
點評：本題主要考查了函數解析式的求解，以及數列的通項公式和求和，同時考查了利用累加法證明不等式，屬于難題．