Question

【題目】已知幾何體ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥DC，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，AB=AD=EA=1，CD=CF=2．
（Ⅰ）求證：平面EBD⊥平面BCF；
（Ⅱ）求點B到平面ECD的距離．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：∵AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=1，CD=2，

∴BD=BC= ，

∴BD2+BC2=CD2，

∴BD⊥BC，

∵EA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴EA⊥BD，∵EA∥FC，

∴FC⊥BD，

又BC平面BCF，FC平面BCF，BC∩CF=C，

∴BD⊥平面FBC，

又BD平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCF．

（II）解：過A作AM⊥DE，垂足為M，

∵EA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴EA⊥CD，又CD⊥AD，EA∩AD=A，

∴CD⊥平面EAD，又AM平面EAD，

∴AM⊥CD，又AM⊥DE，DE∩CD=D，

∴AM⊥平面CDE，

∵AD=AE=1，EA⊥AD，

∴AM= ，即A到平面CDE的距離為 ，

∵AB∥CD，CD平面CDE，AB平面CDE，

∴AB∥平面CDE，

∴B到平面CDE的距離為 ．

【解析】（I）先計算BD，BC，利用勾股定理的逆定理證明BD⊥BC，再利用EA⊥平面ABCD得出AE⊥BD，從而有CF⊥BD，故而推出BD⊥平面FBC，于是平面EBD⊥平面BCF；（II）證明AB∥平面CDE，于是B到平面CDE的距離等于A到平面CDE的距離，過A作AM⊥DE，證明AM⊥平面CDE，于是AM的長即為B到平面CDE的距離．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．