Question

如圖，

AB

=（6，1），

BC

=（x，y），

CD

=（-2，-3），且 

BC

∥

AD

．
（1）求x與y間的關(guān)系； 
（2）若 

AC

⊥

BD

，求x與y的值及四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的加法法則得到

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=（4+x，y-2），再根據(jù)向量共線的充要條件，即可得出x與y間的關(guān)系；
（2）先表示出 

AC

=

AB

+

BC

=（6+x，1+y），

BD

=（x-2，y-3）．再根據(jù)向量垂直的充要條件，即可得出 

BC

和

AD

的坐標(biāo)，從而求得四邊形ABCD的面積．

解答：解：（1）∵

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=（4+x，y-2），
∴由  

BC

∥

AD

，得x（y-2）=y（4+x），
故x+2y=0．
（2）由 

AC

=

AB

+

BC

=（6+x，1+y），

BD

=（x-2，y-3）．
∵

AC

⊥

BD

，∴（6+x）（x-2）+（1+y）（y-3）=0，又x+2y=0，
∴

x=-6 y=3

或 

x=2 y=-1

∴當(dāng) 

BC

=（-6，3）時(shí)，

AD

=（-2，1），
當(dāng) 

BC

=（2，-1）時(shí)，

AD

=（6，-3）．
故 

BC

與

AD

同向，
四邊形ABCD的面積=

1

2

×|

AC

|×|

DB

|=16

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．