Question

已知(

x

+

2

x

)n展開式中的所有二項式系數和為512．
（1）求展開式中的常數項；
（2）求展開式中所有項的系數之和．

Answer 1

分析：（1）利用展開式中的所有二項式系數和為512，先求出n，然后利用二項展開式的通項公式求常數項．
（2）令x=1，即可得到展開式中所有項的系數之和．

解答：解：（1）∵展開式中的所有二項式系數和為512．
∴2ⁿ=512，解得n=9．
則第r+1項為通項公式為：Tr+1=

C

r 9

(

x

)9-r(

2

x

)r=2r

C

r 9

x

9

2

-

3

2

r，（r=0，1，2，…，9）
令

9

2

-

3

2

r=0得r=3．
故常數項為T4=23

C

3 9

=672．
（2）令x=1，得系數和為（1+2）⁹=3⁹．

點評：本題主要考查二項展開式定理的應用，利用換元法將多項式轉化為我們熟悉的多項式形式是解決本題的關鍵．