Question

已知圓M經過三點A（2，2），B（2，4），C（3，3），從圓M外一點P（a，b）向該圓引切線PT，T為切點，且|PT|=|PO|（O為坐標原點）．
（1）求圓M的方程；
（2）試判斷點P是否總在某一定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解法一：設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將三點A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法二：設圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），將三點A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法三：求線段AB的垂直平分線與線段AC的垂直平分線的交點，可求圓心M的坐標，進而可求圓M的半徑，從而可求圓M的方程；
解法四：可判斷△ABC是直角三角形，進而可求圓M的圓心M的坐標為AB的中點（2，3），半徑r=

1

2

|AB|=1，從而可求圓M的方程；
（2）連接PM，根據|PT|=

|PM|2-12

=

(a-2)2+(b-3)2-1

，|PO|=

a2+b2

，利用|PT|=|PO|，可判斷點P總在定直線上．

解答：解：（1）解法一：設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，…（1分）
∵圓M經過三點A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴

22+22+2D+2E+F=0 22+42+2D+4E+F=0 32+32+3D+3E+F=0

…（4分）
解得

D=-4 E=-6 F=12

…（7分）
∴圓M的方程為（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法二：設圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），…（1分）
∵圓M經過三點A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴

(2-a)2+(2-b)2=r2 (2-a)2+(4-b)2=r2 (3-a)2+(3-b)2=r2

…（4分）
解得

a=2 b=3 r=1

…（7分）
∴圓M的方程為（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法三：∵A（2，2），B（2，4），
∴線段AB的垂直平分線方程為y=3，…（2分）
∵A（2，2），C（3，3），
∴線段AC的垂直平分線方程為y-

5

2

=-(x-

5

2

)即x+y-5=0，…（4分）
由

y=3 x+y-5=0

解得圓心M的坐標為（2，3）．…（6分）
故圓M的半徑r=|AM|=

(2-2)2+(3-2)2

=1．
∴圓M的方程為（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法四：∵|AB|=

(2-2)2+(2-4)2

=2，|AC|=

(2-3)2+(2-3)2

=

2

，|BC|=

(2-3)2+(4-3)2

=

2

，…（2分）
∴|AC|²+|BC|²=4=|AB|²．
∴△ABC是直角三角形．…（4分）
∵圓M經過A，B，C三點，
∴圓M是Rt△ACB的外接圓．…（6分）
∴圓M的圓心M的坐標為AB的中點（2，3），半徑r=

1

2

|AB|=1．
∴圓M的方程為（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
（2）連接PM，則|PT|=

|PM|2-12

=

(a-2)2+(b-3)2-1

，…（10分）
∵|PO|=

a2+b2

，且|PT|=|PO|，
∴

a2+b2

=

(a-2)2+(b-3)2-1

，…（12分）
化簡得2a+3b-6=0．
∴點P總在定直線2x+3y-6=0上．…（14分）

點評：本題主要考查直線和圓等基本知識，考查運算求解能力和抽象概括能力，利用待定系數法，確定圓的方程是解題的關鍵．