Question

已知圓M過三點（1，2），（0，1），（-

3

2

，

3

2

），直線l的方程為x-2y=0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA，切點為A．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）設經過A，P，M三點的圓為圓Q，問圓Q是否過定點（不同于M點），若有，求出所有定點的坐標；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出圓的一般方程，代入三點坐標，直接求圓M的方程；
（Ⅱ）（2）設P（2m，m），MP的中點 Q（m，

m

2

），因為PA是圓M的切線，進而可知經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進而得到該圓的方程，根據其方程是關于m的恒等式，進而可求得x和y，得到經過A，P，M三點的圓必過定點的坐標．設經過A，P，M三點的圓為圓Q，問圓Q是否過定點（不同于M點），若有，求出所有定點的坐標；若沒有，說明理由．

解答：解：（Ⅰ）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，因為圓M過三點（1，2），（0，1），(-

3

2

，

3

2

)．
∴

1+4+D+2E+F=0 1+E+F=0 3 4 + 9 4 - 3 2 D+ 3 2 E+F=0

，
解得

D=0 E=-4 F=3

，
故所求圓M的方程為：x²+y²-4y+3=0；
（II）圓的標準方程為x²+（y-2）²=1，M（0，2），
設P（2m，m），MP的中點Q（m，

m

2

+1），因為PA是圓M的切線
∴經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為：(x-m)2+(y-

m

2

-1)2=m2+(

m

2

-1)2，
化簡得：x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，此式是關于m的恒等式，
故

x2+y2-2y=0 2x+y-2=0

解得

x=0 y=2

或

x= 4 5 y= 2 5

即（0，2）和（

4

5

，

2

5

）．
故圓過定點的坐標是：（0，2）和（

4

5

，

2

5

）．

點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用．解題的關鍵是對圓性質的熟練掌握．