Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中E、F分別為棱DD₁、BB₁上的動點，且BF=D₁E，設EF與AB所成角為α，EF與BC所成的角為β，則α+β的最小值為（　　）

A．45°

B．60°

C．90°

D．無法確定

Answer 1

分析：在平面AA₁B₁B中過點E作直線EM∥AB，交AA₁于點M，連接MF，可得∠MEF=α，同理可得α=β．Rt△MFE中算出EF關于λ的式子，從而得到cosα的取值范圍，結合余弦函數單調性求出α的取值范圍，可得α+β的取值范圍，得到α+β的最小值．

解答：解：在平面AA₁B₁B中過點E作直線EM∥AB，交AA₁于點M，連接MF，
則可得∠MEF就是異面EF、AB所成角，即∠MEF=α，
同理可得EF與BC所成的角β=α．
設BF=D₁E=λ（0＜λ＜1），正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長等于1，則
在Rt△MFE中，ME=1，EF=

2+(1-2λ)2

，
∴cosα=

ME

EF

=

1

2+(1-2λ)2

≥

2

2

，
當λ=

1

2

時，cosα的最小值為

2

2

∵α為銳角或直角，∴α≤45°，可得α=β≤45°
因此，α+β的最小值為90°．
故選：C

點評：本題給出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中的動線段EF，求EF與AB、BC所成角和的最小值．著重考查了正方體的性質和異面直線所成角求法等知識，屬于中檔題．