Question

【題目】已知點P(x，y)在△ABC的邊界和內部運動，其中A(1，0)，B(2，1)，C(4，4).若z=2x-y的最小值為M，最大值為N.

（1）求M，N；

（2）若m+n=M，m>0，n>0，求的最小值，并求此時的m，n的值；

（3）若m+n+mn=N，m>0，n>0，求mn的最大值和m+n的最小值.

Answer 1

【答案】（1），（2），；最小值（3）mn的最大值為；m+n最小值為

【解析】

（1）利用線性規劃知識求得最值；

（2）結合（1）根據，利用基本不等式求最值及最值取得的條件；

（3）結合（1）可得和利用換元法求解最值.

（1）由題意，作出圖形

知當直線經過點時，z有最小值2，當直線經過點時，z有最大值4.所以，.

（2）由（1），知，

所以，

當且僅當時等號成立.

又，所以，.

（3）由（1），知.

因為當且僅當時等號成立，

所以.

令，則，解得.

又，故，

故mn的最大值為.

因為，

所以，

令，則，

解得或舍去，

即的最小值為.