Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點．對任意的點，定義．任取點，，記，，若此時成立，則稱點，相關(guān)．

（1）分別判斷下面各組中兩點是否相關(guān)，并說明理由；

①，；②，．

（2）給定，，點集．

（）求集合中與點相關(guān)的點的個數(shù)；

（）若，且對于任意的，，點，相關(guān)，求中元素個數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①相關(guān)；②不相關(guān).（2）（）個（）.

【解析】

（1）根據(jù)所給定義，代入不等式化簡變形可得對應坐標滿足的關(guān)系，即可判斷所給兩個點的坐標是否符合定義要求.

（2）（）根據(jù)所給點集，依次判斷在四個象限內(nèi)滿足的點個數(shù)，坐標軸上及原點的個數(shù)，即可求得集合中與點相關(guān)的點的個數(shù)；（）由（1）可知相關(guān)點滿足，利用分類討論證明，即可求得中元素個數(shù)的最大值．

若點，相關(guān)，則，，而，

不妨設，

則由定義可知，

化簡變形可得，

（1）對于①，；對應坐標取絕對值，代入可知成立，因此相關(guān)；

②對應坐標取絕對值，代入可知，因此不相關(guān).

（2）（）在第一象限內(nèi)，，可知且，有個點；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有個點.

在軸正半軸上，點滿足條件；在軸負半軸上，點滿足條件；

在軸正半軸上，點滿足條件；在軸負半軸上，點滿足條件；

原點滿足條件；

因此集合中共有個點與點相關(guān).

（）若兩個不同的點，相關(guān)，其中，，，，

可知.

下面證明.

若，則，成立；

若，則，

若，則，亦成立.

由于，

因此最多有個點兩兩相關(guān)，其中最多有個點在第一象限；最少有1個點在坐標軸正半軸上，一個點為原點.

因此中元素個數(shù)的最大值為.