Question

15、已知x∈R，求證：e^x≥x+1．

Answer 1

分析：首先構造函數f（x）=e^x-x-1，然后求出函數的導數，利用導數與函數單調性的關系進行證明．

解答：證明：設f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，
∴當x=0時，f′（x）=0，f（x）=0．
當x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴f（x）＞f（0）=0．
當x＜0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴對x∈R都有f（x）≥0，
∴e^x≥x+1．

點評：此題主要考查函數導數與函數單調性之間的關系，掌握并會熟練運用導數與函數單調性的關系．