Question

已知a∈R，函數f(x)=

a

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x．
（1）求函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實數x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值，若不存在，請說明理由；
（3）求證：(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)•

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]＞(n-

1

4

)•ln

en

n!

      (n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的定義域，然后求出導函數f'（x）=0的值為a，討論a與區間（0，e]的位置關系，根據函數的單調性可求出函數函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（2）先求導函數g′(x)=(

1

x

+lnx-1)•ex+1，根據（1）可知：當a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1在區間（0，e]上有最小值ln1=0則f(x)=

1

x

+lnx-1≥0，從而當x₀∈（0，e]時，g′(x0)=(

1

x0

+lnx0-1)•ex0+1＞0，曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直等價于：方程g'（x₀）=0有實數解，而 g'（x₀）＞0即方程g'（x₀）=0無實數解，從而得到結論；
（3）由（1）可知：當a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1≥0對?x∈[0，+∞）恒成立，即當x≥0時，恒有

1

x

≥1-lnx（*）
取x=n（n∈N^*），得

1

n

≥1-lnn則1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥n-(ln1+ln2+ln3+…+lnn) =n-ln(n!)=ln

en

n!

故1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

   (n∈N*)，在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N^*），然后利用裂項法進行求和可得結論．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）
∵f(x)=

a

x

+lnx-1∴f′(x)=

x-a

x2

令　f′(x)=

x-a

x2

=0   ⇒  x=a
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在區間（0，e]上單調遞增，此時，f（x）無最小值；
②若0＜a＜e，則當x∈（0，a）時，f'（x）＜0，當x∈[a，e]時，f'（x）＞0，
∴f（x）在區間（0，a]上單調遞減，在區間（a，e]上單調遞增，
∴當x=a時，f（x）有最小值lna；
③若a≥e，則f'（x）≤0，f（x）在區間（0，e]上單調遞減，
∴當x=e時，f（x）有最小值

a

e

．
綜上：f(x)min=

不存在      a≤0 lna       0＜a＜e a e           a≥e

（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x∴g′(x)=(

1

x

+lnx-1)•ex+1
由（1）可知：當a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1在區間（0，e]上有最小值ln1=0
∴f(x)=

1

x

+lnx-1≥0
∴當x₀∈（0，e]時，g′(x0)=(

1

x0

+lnx0-1)•ex0+1＞0
∵曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直等價于：方程g'（x₀）=0有實數解，而 g'（x₀）＞0即方程g'（x₀）=0無實數解，故不存在實數x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．
（3）（理）由（1）可知：當a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1≥0對?x∈[0，+∞）恒成立，
即  當x≥0時，恒有

1

x

≥1-lnx…（*）
取x=n（n∈N^*），得

1

n

≥1-lnn
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥n-(ln1+ln2+ln3+…+lnn) =n-ln(n!)=ln

en

n!

故  1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

   (n∈N*)
又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N^*），得：ln[k(k+1)(k+2)]≥1-

1

k(k+1)(k+2)

  =1-[

1

k(k+1)

-

1

(k+1)(k+2)

] •

1

2

∴

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]≥n-

1

2

•[

1

2

-

1

(n+1)(n+2)

]＞(n-

1

4

)
故  (1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)•

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]＞(n-

1

4

)•ln

en

n!

      (n∈N*)
或：又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N^*），得：ln[k（k+1）（k+2）]≥ln6＞lne=1
∴

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]≥n＞(n-

1

4

)
故  (1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)•

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]＞(n-

1

4

)•ln

en

n!

      (n∈N*)

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，以及不等式的證明，同時考查了分類討論的思想，屬于難題．